Berechnung der Standardabweichung
Die Berechnung und Interpretation der Standardabweichung soll am folgenden Beispiel veranschaulicht werden.
Stellen wir uns vor, wir bitten eine Personen A darum, eine Woche lang ihre tägliche Schlafdauer zu dokumentieren. Nachdem wir die Daten erhalten haben, möchten wir das Schlafmuster von Person A ein bisschen genauer betrachten. Uns interessiert vor allem die Frage nach der Homogenität des Schlafmusters: Sind sich die Schlafdauern über den gemessenen Zeitraum ähnlich oder schwanken sie sehr stark? Um dies festzustellen, reicht die Berechnung des Mittelwerts alleine nicht aus. Wir benötigen noch Informationen zur Streuung der Daten. Erst diese sagt uns, ob wir den Mittelwert als zuverlässigen Erwartungswert betrachten dürfen. Unser Ziel ist daher also, die Standardabweichung zu berechnen.
Anmerkung: Bei der Berechnung sind die Kommazahlen auf die zweite Nachkommastelle gerundet.
Person A legt uns nach einer Woche folgende Daten vor:
| Tag | Schlafdauer (h) |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 2 | 7 |
| 3 | 7,5 |
| 4 | 6,5 |
| 5 | 7,5 |
| 6 | 8 |
| 7 | 6,5 |
Prinzipiell benötigt man zur Berechnung der Standardabweichung folgende Werte: Mittelwert und Varianz.
Aus diesem Grund vollzieht sich die Berechnung in drei Schritten:
(1) Berechnung des arithmetischen Mittels
Die Berechnung des Mittelwerts (= Erwartungswert der Verteilung) erfolgt über die Summierung der einzelnen Schlafdauern und die anschließende Teilung durch die Anzahl der Tage.X(A) = (6 + 7 + 7,5 + 6,5 + 7,5 + 8 + 6,5) / 7 = 7
Hierbei ergibt sich ein Mittelwert X(A) = 7.
(2) Berechnung der Varianz
Die Berechnung der Varianz erfolgt über die Mittelung der summierten Abweichungsquadrate der einzelnen Schlafdauern vom Mittelwert.s²(A) = [(6 - 7)² + (7 - 7)² + (7,5 - 7)² + (6,5 - 7)² + (7,5 - 7)² + (8 - 7)² + (6,5 - 7)²] / 7 = 0,43
Dies ergibt eine Varianz s²(A) = 0,43.
Zu beachten ist hierbei, dass die Varianz nicht in der selben Einheit vorliegt wie die ursprünglichen Datenwerte. Über das Maß der Varianz ist eine Interpretation der Streuung der Daten also nicht sinnvoll. Um diese Interpretierbarkeit zu ermöglichen, wird im dritten Schritt die Standardabweichung berechnet.
(3) Berechnung der Standardabweichung
Die Standardabweichung ergibt sich aus der Quadratwurzel der Varianz.s(A) = √s²(A) = √0,43 = 0,66
Für unser Beispiel erhalten wir eine Standardabweichung von s(A) = 0,66.
(4) Interpretation der Standardabweichung
Die durchschnittliche Abweichung der Person A von ihrem Schlafdauermittelwert von 7h beträgt 0,66h.Wir haben es hierbei also mit einer Person zu tun, die ein relativ homogenes Schlafmuster (geprägt von ähnlichen Schlafdauern) innerhalb der dokumentierten Zeit aufweist, da ihre Schlafdauer im Mittel nur um etwa eine gute halbe Stunde vom Gesamtmittelwert abweicht.
Wie steht es um den Vergleich zweier Datensätze anhand ihrer Standardabweichungen?
Wir haben gerade gesehen, wie man die Standardabweichung für einen gegebenen Datensatz berechnet.
Interessant wird es, wenn der Vergleich zweier Datensätze anhand des Kriteriums der Standardabweichung erfolgen soll. Hierbei zeigt sich die Bedeutung der Standardabweichung als Maß für die Repräsentativität eines Mittelwerts.